“破碎”之美——分形艺术大赏

什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。所以说，分形几何是一门可以用来描述大自然的几何学。

"分形"一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德勃（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有"破碎"、"不规则"等含义。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构。Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，你可以无限地放大它的边界。当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。所以说，Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。

所以来看一下最著名的Mandelbrot Set和Julia Set:

Julia Set

在复平面上，水平的轴线代表实数，垂直的轴线代表虚数。每个Julia集合（有无限多个点）都决定一个常数C，它是一个复数。现在您在复平面上任意取一个点，其值是复数Z。将其代入下面方程中进行反复迭代运算：
Z(n+1)=Z(n)^2+C

就是说，用旧的Z自乘再加上C后的结果作为新的Z。再把新的Z作为旧的Z，重复运算。当你不停地做，你将最后得到的Z值有3种可能性：

1、Z值没有界限增加（趋向无穷）
2、Z值衰减（趋向于零）
3、Z值是变化的，即非1或非2

趋向无穷和趋向于零的点叫定常吸引子，很多点在定常吸引子处结束，被定常吸引子所吸引。非趋向无穷和趋向于零的点是"Julia集合"部分，也叫混沌吸引子。

问题是我们怎样才能让计算机知道哪一个点是定常吸引子还是"Julia集合"。一般按下述算法近似计算：

n=0;
while ((n++ < z="Z*Z+C;">= Rmax

属于这种情况的点相当于"1、Z值没有界限增加（趋向无穷）"，为定常吸引子,我们把这些区域着成白色。第二种情况是：

n >= Nmax

属于这种情况的点相当于"2、Z 值衰减（趋向于零）"或"3、Z 值是变化的"，我们把这些区域着成黑色。黑色区域图形的边界处即为"Julia集合"。"Julia集合"有着极其复杂的形态和精细的结构。

Mandelbrot Set

将Mandelbrot集合和Julia集合联系在一起，Julia集合有若干类型，都包含在Mandelbrot集合之中。Julia集合中的C是一个常量，而Mandelbrot集合的C是由进入迭代前的Z值而定。迭代结果，Z值同样有3种可能性，即：

1、Z值没有界限增加（趋向无穷）
2、Z值衰减（趋向于零）
3、Z值是变化的，即非1或非2

Mandelbrot集合是所有的Julia集合的合并，Mandelbrot集合的某个区域放大后就是这个点的Julia集合。 Mandelbrot集合有着一些很异国情调并且古怪的形状。理论上你能不停地永远放大Mandelbrot集合，但是机器实现时受到计算机精度的限制。
从这边的几张Mandelbrot集的逐次放大图像可以看出，虽然式子和迭代运算都很简单，但是产生的图形出现那么丰富多样的形态及精细结构简直令人难以置信以至于不可思议。在传统几何学中难以找到如此简单的规律隐藏着如此复杂而生动的例子。Mandelbrot集合告诉我们自然界中简单的行为可以导致复杂的结果。例如，大型团体操中每个人穿的衣服只有几种颜色中的一种，每个人的动作也只是导演规定的几种之一。但是整体上可以显示出多种多样的复杂形态。

下面分享我的Picasa相册，里面有150幅精美绝伦的分形艺术的绘画，绝对叹为观止！其中有来自于2007年度曼德勃分形艺术大赛(Benoit Mandelbrot Fractal Art Contest 2007)的15件获奖作品，7件候选作品及49件提名作品。

分形

另外的一些相关资源：曼德勃分形艺术大赛官方网站
VeryCD上的一部关于分形的纪录片：探索碎形的世界

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后话：很早就听说过分形，也知道大致是怎么回事，但是真正认识到它令人惊讶的魅力还是去年九月份在Kahler的blog上面兜到的一部纪录片：《维度：数学漫步》(Dimensions: a walk through mathematics)
其中第六集讲Julia Set实在是太惊艳了，所以很早就准备做一个关于分形的介绍。这里要感谢Blogger完美的全方位技术支持，貌似八年前学的早就忘得精光的html语言又有点回来了……不多罗嗦了，还是套用美学大师朱光潜的名言：“慢慢走，欣赏啊！”