小结：下午的报告《带通量的弦真与广义Calabi-Yau流形》

今天本来打算在闵行闷看一天书的，下午一点半的时候海牛发短信来通知我说有个关于弦论的报告，于是就屁颠屁颠跑到数学系听报告去了。我也顺便转发通知了几个人（结果那帮人都没来>_<）居然忘记通知Kahler了，汗。我也只能听懂个大概的大概，随便写了几手笔记，做个小结吧。这边不方便打公式，我就先给几个参考文献了（其实可以去Wiki打关键字扫盲，去arXiv搜点论文看的）。 维基百科，打关键字：Kaluza–Klein theory; de Rham cohomology; Quantum Kaluza-Klein Compactification

我今天这个文章肯定有很多似是而非的地方，Kahler看完一定要多多指教！（原谅我实在内功太浅了！）

今天这个讲座是中科大的胡森（专门搞数学物理）讲的，章璞和以前在物理系的楼森岳两位大牛也到场了，只不过在座的有一位非常民科的让我大大地汗了一下，这个是后话了……

这人前面一半讲的东西还是能听懂的（只要懂点超弦）。我这里放上来的介绍是转载加整合过的，原版来自qftor.blogspot.com，感谢这位兄台的辛苦翻译！全部我自己写的话太太耗时间了。

我们通常把基本当作零维的对象，比如电子。弦是对它的一个推广：假设的一种一维的对象，没有厚度但是有长度为10^-33 cm。显然，和100cm这样的尺度比较，这是一个非常小的长度。因此弦看起来就像点状的粒子。但是弦的本质有一些重要的应用，这是我们即将看到的。

弦分为开弦和闭弦。在时空中移动扫出一个我们想象的面：世界面。

弦有很多的振动模式，这些模式可以由量子数来刻画，比如质量，自旋等等。其基本思想是，这些模式具有一套量子数，这些量子数对应于不同类型的基本粒子。这是最终的统一；有一个简单的类比，比如说大提琴的弦。不同的声音对应于大提琴的不同的振动，也就是每种粒子对应于弦的不同振动。（可以看到，超弦是很美妙很有独创性的想法。）

作为一个粒子，我们考虑闭弦的振动模式：

这些模式是对自旋为2的无质量的引力子（传递引力的媒介粒子）的刻画。这就很自然的，不可避免的在基本相互作用中包含了引力。

弦的相互作用有分裂和联合。例如：两个闭弦湮灭成一个闭弦，见下图：

注意到相互作用的世界面是一个光滑的面。这显示了弦论的另外一个很好的特性。这样我们就不再为量子场论中的点状粒子产生的无穷大所苦恼。类似于上图，量子场论中的点粒子的费曼图是：

在上图中，相互作用点出现在一个拓扑奇点上（即三线的交点）。这导致在高能的情况下点粒子理论不再适用。

如果我们把两个基本的闭弦相互作用粘合在一起，我们得到一个闭弦相互作用的过程：两个闭弦粘合在一起，称为一个中间态闭弦，然后又分裂成两个闭弦：

这个过程我们称为树形图相互作用。为了用微扰法计算量子力学幅度，我们需要加入更高阶的量子过程。对于阶数越高，贡献越小的情况，微扰论提供了一种很好的方法。那么我们只需要计算前面几阶就可以得到比较精确的结果。在弦论中，更高阶的图形是对应于世界面中洞的数目。

我们幸运的发现，在微扰论的每一阶中，有且仅有一个图。（在量子场论中，图形的数目是随阶数几何级数增长的。）而坏消息是，世界面有更多的洞的时候，计算需要很复杂的数学。微扰论对于研究弱耦合问题是非常有效的工具，我们当前对于粒子物理学和弦理论大多数理解都基于此。当然这还远远不够。对这些更深层次的问题的解答，我们需要有一个完备的非微扰的理论描述。

我们知道自然界中有费米子和波色子两种粒子。一个基本理论必须包含这两类粒子。当我们在弦的世界面理论中包含费米子的时候，我们可以得到了一种新的对称性：超对称，一种把玻色子和费米子关联起来的对称性。费米子和玻色子在这种对称性下组合成超多重态（supermultiplets）。这就是为什么我们成为“超弦”的原因。

根据弱耦合微扰论，理论出现了5个不同的自洽的超弦理论： Type I SO(32), Type IIA, Type IIB, SO(32) Heterotic 和 E8 x E8 Heterotic。

	Type IIB	Type IIA	E8 x E8 Heterotic	SO(32) Heterotic	Type I SO(32)
String Type	Closed	Closed	Closed	Closed	Open (& closed)
10d Supersymmetry	N=2 (chiral)	N=2 (non-chiral)	N=1	N=1	N=1
10d Gauge groups	none	none	E8 x E8	SO(32)	SO(32)
D-branes	-1,1,3,5,7	0,2,4,6,8	none	none	1,5,9

自洽的超弦的量子场论仅仅存在于10维时空中，否则该理论所描述的就不会自洽或者“反常”。在10维的时空中，这种不自洽会刚好抵消掉，也就是说理论无反常。但是我们的生活时空是4维的，而理论是10维的，如果我们需要知道的是超弦理论能否描述我们的宇宙。我们就要假设其中6维空间蜷曲成小的紧致的空间。如果紧致空间的尺度是弦的尺度(10^-33 cm)，那么我们就不能直接探测这些额外维——它们太小了。这样，我们就必须降维，以便回到我们熟悉的4（3+1）维世界进行观测，但是我们可观测的维数的宇宙中每一个点上都有一个很小的6维的“球”。下面是一个非常直观的图形：

以上是一个古老的思想，可以追述到20世纪20年代的Kaluza和Klein的工作。这通常被称为Kaluza-Klein理论或者是紧致化。在Kaluza开创性工作中，他证明了：如果我们从5维的广义相对论出发，然后把其中一维卷曲成一个圈，那么我就回到了广义相对论的4维理论，并加上了电磁场！为什么是电磁场呢？因为那是U(1)规范理论，U(1)规范理论恰好就是绕着一个圈的转动群。如果我们假设电子有一个自由度对应于这个圈上的某个点，并且，这个点在圈上是可以自由变换的，我们发现理论必须包含光子和电子，这两种理论是服从麦克斯韦方程组的。Kaluza-Klein简单的给出了这个圈的几何解释：这个圈来自于真正的第5维，但是这是卷曲起来的。在这个简单的粒子中，我们看到虽然紧致维可能小到无法直接探测，但是它们仍然有重要的物理意义。（Kaluza和Klein的理论是很多关于第5维的科幻小说的起源。）

如果存在额外维的话，如果我们的加速器有足够高的能量的话，我们怎样才能探测到他们呢？从量子力学我们知道，如果一个空间维是周期性的，那么动量在这一维中是量子化的，p = n / R (n=0,1,2,3,....)，如果这个空间维没有限制的话，那么动量的值是连续的。当紧致维的class减小时（圈变的更小），那么所允许的动量的差将变的非常大（n/R-(n-1)/R）。这样我们得到一个Kaluza Klein动量态图：

如果我们取圈的半径很大（这个维度是退-紧致化的），那么那么动量就可以从离散变成连续。这些Kaluza-Klein动量态将给出非紧致世界的质谱。特别的，在更高维理论中的无质量态，将给出低维理论中的等间距的有质量态，这就是上图所描述的。粒子加速器上可以观察到一些等质量间距的粒子。不幸的是，我们需要一个能量非常大的加速器，才能看到最轻的有质量粒子。

在紧致化的时候，弦论有一些令人着迷的特性：他们可以缠绕在一个紧致维上，得到质量谱中的缠绕模式。闭弦可以缠绕在周期维上n次（n是整数）。类似于Kaluza-Klein 情形，这样的缠绕可以贡献动量：p = w R (w=0,1,2,...)。这里有一个重要的差别，动量是正比于半径R的。因此紧致维非常小的时候，这些缠绕模式变的非常轻！

要得到我们的4维世界，我们需要把10维的超弦理论紧致化在一个6维的紧致流形上。无需多数，上面所描述的Kaluza Klein图像就变的更为复杂了。一直简单的方法就是把其中6维变成6个圈，这就是6维的轮胎面。

这样我们需要太多的超对称。我们相信某些超对称存在于我们的4维的世界在能标高于1TeV以上（这也是当前最高能的粒子加速器的研究热点！）为了确保最小的超对称，N=1在4维时空中，我们需要紧致到一个特别的6维流形上，即卡-丘流形（Calabi-Yau manifold）。

1954年Calabi猜测存在一类特殊的Kahler流形，其Ricci曲率为零（我们称为Ricci平坦，Ricci flat），Calabi证明这个问题的唯一性但是无法证明其存在性，1976年Yau证明了这个猜想的主要部分即存在性部分，彻底解决了这个问题。但是他给出的是证明的概要，次年给出细节。这个猜测的证明给出了Kahler-Einstein度量的存在性的一个漂亮结果。

什么是Kahler-Einstein度量？我们知道爱因斯坦的一个小失误：为了保持宇宙的静态，他臆测存在一个宇宙学常数λ，虽然这是爱因斯坦的失误，不过后世的观测越来越倾向于表明宇宙学常数很可能是存在的。从数学上说，满足真空Einstein场方程的解的流形被称为Einstein流形，这是一个特殊的“伪Riemann流形”（Psuedo-Riemannian manifold）。

数学家把Psuedo-Riemannian manifold的研究换成Kahler manifold，把其上的度规换成Kahler度规，如果也考虑到其Ricci曲率张量与Kahler度规成比例，那么我们说这个Kahler 流形满足真空Einstein场方程的解，称为Kahler-Einstein manifold。

如果比例常数λ=0，那么此时的Kahler manifold的Ricci曲率就是零了，这时候就是Ricci平坦的Kahler-Einstein manifold，即同样著名的Calabi-Yau manifold。所以说Calabi-Yau流形是满足宇宙学常数为零时的真空Einstein方程的解的Kahler流形。从最古老的内蕴几何开始，我们都是从度规出发，通过一步步求导，获取Riemann曲率张量，再缩并成Ricci张量，而反过来由Ricci曲率决定度规却要涉及困难的非线性偏微分方程的一系列课题，因此即使到现在，我们要写出一个满足Ricci平坦的度规仍然是很困难的，从这个角度看，Yau的这个工作是非常了不起的。

考虑到弦论要求额外空间为6维且有特殊的对称性，粗略说就是holonomy group为SU（3）的流形，为什么holonomy group必须为SU（3）？

首先，物理上考虑，主要是因为要保持一个旋量不变，使得d=4，N=1的超对称成立，这时候要求是holomony group是SU（3），只有复三维Calabi-Yau流形正好可以满足d=4，N=1的超对称成立，而它的h group是SU（3），如果要d=4，N=2的超对称成立，则要求的流形的h group是SU（2），对应了第二个旋量不变性。这时考虑的K3曲面上（属于2维Calabi-Yau流形）的弦论。这些东西只是说明物理上为什么要用复三维Calabi-Yau流形。

其次，数学上说，迹形（orbifold）奇异性无法消除，但是光滑Calabi-Yau流形可以通过“吹胀（blowing-up）”获得，环面的h group太平凡，Ricci-flat决定了n维Calabi-Yau流形的h group是SU（n），因为其第一“陈省身数（Chern number）”为零，所以从U（n）约化为SU（n）。

（复）三维Calabi-Yau流形刚好符合这些苛刻的条件，因此1985年Candelas、Horowitz、Strominger、Witten四人发表了一篇关于Calabi-Yau流形在超弦中的基础作用的论文成为弦论的经典之作，由于C-Y流形是特殊Kahler流形，而Kahler流形是特殊的Hermite流形，Hermite流形是复流形。我们必须从复流形开始研究。

这以上差不多是他讲的2/3内容的主旨，我外面找了资料整合的。

下面是今天报告里一些零零碎碎的线索：首先是关于把引力统一到其它三种力中，相当于把非几何群统一到紧群中去，用一般的方法很难实现，直到后来产生超对称（用来统一费米子和波色子），然后他说个什么，随着维数的增加费米子的？呈指数级别增长而波色子呈平方增长，所以维数也不能太高，于是搞下来最高的维数是11维，（IIA 和 E8 x E8弦可以通过它关联起来。具有这个关系后，所有的弦理论就可以通过一个对偶链关联起来了。这些对偶就提供了这样一个证据：所有的不同的弦论描述都是同一个物理学内容。每一个理论都有自身的正确的范围，在某种极限下，另外一个弦论就变的更为重要，而第一中弦论就不再适用）对于这个11维的有一个类似于5维KK compactification一样的方程组，然后涉及到一个Maxwell like Equations，他就引进了一个什么什么的（>_<真的记不起来了，名词啊）和Ramond-Ramond flux就是相当于三维经典场论里面的旋和源。然后又由复流形什么的，搞到了群的模上面去了（这个很自然的，代数表示论吧~），说通过模之间在那个流形上形成一个丛。然后自然而然就转到上同调里面去了（这个去查维基百科吧，上面说得很清楚了，我不能再说了……关键字打“德拉姆上同调”），最后他用Hodge分解证明了模空间的局部坐标=取上同调类，这样就建立了模空间上的几何。然后就是我笔记上这么记的一个东西：弦论中的几何<=>Hodge形变=>推广到广义C-Y流形。

另外关于那个民科，我猜是我们系里面很出名的那个女人。晕！太丢脸了，先是冲到一排一座硬要做到胡森的对面，报告结束后的提问阶段还提了一些特别丢脸的问题，你不懂么就别装懂，连什么牛顿力学都出来了，我们系的台都要被坍光了T_T 我和海牛还有下面的老师都很无奈地笑，平时向来很低调的海牛也忍不住说：“绝对的民科啊！”她还脸皮很厚地问了个半天。她问完以后海牛和我各提了一次问。牛问那教授如果要搞弦论该看哪些书>_< 我就问了他一下对于弦论发展前景的看法，还有那个最初弦论在统一强相互作用中行不通的问题，得知97年已经修正了。

从报告中可以看出，微分几何，拓扑和代数极其重要，感觉像是理论物理的三大基石吧，所以我才选了那么多课，深深感到数学不够用>_< 呼……不写了！