第一个，不知道哪个牛人写的，被数学系的孩子们分享了n多次……
引言：
上周我的一个朋友第N 次向女生表白遭到拒绝，作为好朋友的我除了同情之外觉得应该做点什么。之前一次聊天受到 菠菜 的启发，加上出于对数学的兴趣，我对女生“选择与拒绝”的策略试着做了一个简单的建模，并得出比较有意义的结论。
摘要：
每一个女生都渴望找到自己心中的白马王子，找到自己一生的幸福。但是面对追求者们，女生应该是选择还是拒绝，怎样才能以最大的可能找到自己的Mr. Right 呢？在这篇文章中我们运用数学中概率论的知识对女生选择追求者的这一过程进行数学建模，得到女生的选择的最优策略，最后对结果进行简单的讨论。
关键词：
炮灰模型 排列 选择
模型假设：
众所周知生活中涉及到感情的事情是很复杂的，把所有可能影响的因素都考虑到几乎是不可能的。为此我们先对现实进行简化，并做出一些合理的假设，考虑比较简单的一种情况。
假设一个女生愿意在一段时间中和一位男生开始一段感情，并且在这段时间中有N 个男生追求这位女生。说明：这里的N 不是事先确定的，每个女生根据自身条件，并结合以往的经历和经验，猜测确定这个数字N 。比如其它各方面都相同的两个女生，一般来说，PP 的女生就要比不PP 的女生N 值相对要大一些。在适合这个女生的意义上，假设追求者中任何两个男生都是可以比较的，而且没有相等的情况。这样我们对这N 个男生从1 到N 进行编号，其中数字越大表示越适合这个女生。这样在这段时间中，女生的Mr. Right 就是男生N 了。现在问题变成面对这N 个追求者应该以怎样的策略才能使得在第一次选择接受的男生就是N 的可能性最大，注意到这N 个男生是以不同的先后顺序来追求这位女生的。
为了将实际复杂的问题进行简化，我们做出下面几条合理的假设：
1、 N 个男生以不同的先后顺序向女生表白，即在任一时刻不存在两个或两个以上的男
生向这位女生表白的情况的发生，而且任何一种顺序都是完全等概率的。
2、 面对表白后的男生，女生只能做出接受和拒绝两种选择，不存在暧昧或者其它选择。
3、 任一时刻，女生最多只能和一位男生谈恋爱，不存在脚踏多船的情况。
4、 已经被拒绝的男生不会再次追求这位女生。
基于上述假设，我们想要找到这样一种策略，使得女生以最大的概率在第一次选择接受
的那个男生就是N ，i.e. Mr. Right 。
先考虑最简单的一种策略，如果一旦有男生向女生表白，女生就选择接受。这种策略下显然女生以1/N 的概率找到自己的Mr. Right 。当N 比较大的时候，这个概率就很小了，显然这种策略不是最优的。
基于上面这些假设和模型，我们提出这样一种策略：对于最先表白的M 个人，无论女生感觉如何都选择拒绝；以后遇到男生向女生表白的情况，只要这个男生的编号比前面M 个男生的编号都大，即这个男生比前面M 个男生更适合女生，那么女生选择接受，否则选择拒绝。
下面以N=3 为例说明：
三个男生追求女生，共有六种排列方式：
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
如果女生采用上述最简单的策略，那么只有最后两种排列方式选择到Mr. Right ，概率为2/3!=1/3 。
如果女生采用上面我们提出的策略，这里我们取M=1 ，即无论第一个人是否优秀，女生都选择拒绝。然后对于之后的追求者，只要他比第一个男生更适合女生就选择接受，否则拒绝。 基于这种策略，“1 3 2 ”、“2 1 3 ”、“ 2 3 1 ”这三种排列顺序下女生都会在第一次做出接受的选择时遇到“3 ”，这样我们就把这种概率增大到3/3!=1/2 。
现在我们的问题就归结为，对于一般的N ，什么样的M 才会使这种概率达到最大值呢？（在这种模型中，前面M 个男生就被称为“炮灰”，无论他们有多么优秀都要被拒绝）
模型建立：
在这一部分中，根据上面的模型假设，我们先找到对于给定的M 和N(1
1 到N 个数字进行排列共有N! 种 可能。当数字N 出现在第P 位置（M<=n ），如果使上述策略在第一次选择接受时遇到的是N ，排列需要满足下面两个条件：
1、 N 在第P 位置
2、 从M+1 到P-1 位置的数字要比前M 位置的最大数字要小
运用数学中排列组合的知识，不难知道符合上面两个条件的排列共有
这样对于给定的M 和N ，P 可以从M+1 到N 变化，求和化简后得到给定M 和N 共有
种序列符合要求。
由此得到女生选择接受时遇到Mr. Right 的概率为
。
模型求解：（不感兴趣的话可以直接跳过这部分推导）
这一部分中我们求解使这个表达式取得最大值时M 的值。
记函数
， 且设自变量取值为M 时，函数取得最大值。
因此：
所以M 应满足
我们知道，当x>0, In(1+x)<> ;
当x-->0, In(1+x) ~ x 。所以由左边不等式:
所以： 
当N 比较大时，同理由右不等式可得M ≈N/e ， 以上e 为自然对数。
若记[x] 为不大于x 的最大整数，由以上推导我们可猜测当M 取[N/e] 或[N/e]+1 时，该表达式取得最大值。
用MATLAB 仿真，上述结论正确。
结果分析：
由上述分析可以得到如下结论：为了使一个女生以最大的概率在第一次选择接受男生时遇到的正是Mr. Right ，女生应该采用以下的策略：
拒绝前M=[N/e] 或者[N/e]+1 个追求者，当其后的追求者比前M 个追求者更适合则接受，否则拒绝。
“打战的时候，很多士兵身先士卒，跑到前线勇往直前。通常来说，走在最前面的，都会给大炮打中（古代的大炮像象个球一样滚过来的）成为灰烬。而后来的士兵，就踏着炮灰走到胜利，所以成为别人利益的牺牲品的人就叫炮灰.。”-------- 百度上关于炮灰的解释
在本篇文章中介绍的“炮灰模型”中，前M个男生就成了炮灰的角色，无论其有多么优秀，都会被拒绝。
朋友，如果你追求一个女生而遭到拒绝，看完这篇文章后你会突然发现，也许这不是你的的错，也许你真的很优秀，只是很不幸，你成了“炮灰”。
这几天在校内上看到很多朋友都因为拒绝或失恋而苦恼。希望上面这些看似复杂的推导和模型对你能有所启发。不要因为一次的拒绝而伤心、失落，振作起来，你的Miss Right is waiting for you somewhere!
谨以此篇文章献给所有为爱而战的猛士们！
纯属娱乐
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附：
感谢胡波同学的补充和推导（详见105楼和106楼 ）：
为向作者致敬，将这个策略的最优性简证如下（限于篇幅，不借助复杂的数学公式了）：
1.作为“策略”，可以认为应该类似于算法，对于确定的输入有确定的输出。因此对第M号追求者是否同意仅取决于之前M-1个人与该人的状况比较，以及M的大小；进一步地，显然与前M-1个人的好坏顺序无关（因为前M-1个人的顺序与第M个人及以后无关）。
2.如果仅考虑选中N号，那么答应某个人的必要条件是此人比之前的都好（否则一定不是No.N）
3.综1、2，所有可能的策略都有相同形式：对于第K1,K2,...,Kt号人，如果比以前的都好，OK；如果不符合条件，“还是做朋友吧”
4.进一步，如果Km + 1
再由作者的理论小推论一下：
设女性最为灿烂的青春为18-28岁，在这段时间中将会遇到一生中几乎全部的追求者（之前之后的忽略不计），且追求者均匀分布（
），则女性从18+10/e=21.7即22岁左右开始接受追求……这告诉我们，想谈恋爱找大四的……
看 完之后，我又简单想了一下，在文章中我只考虑了N个男生表白的先后顺序是完全随机的，并没有考虑相邻两次之间的时间隔。如果把时间因素也考虑进去的话，在 一个相对较短的时间中，可以近似的假设为齐次泊松过程，这样不仅可以得出女生应该选择上面的第M个男生的结论，而且找到男生表白的最佳时间在t=T/e时 刻。 例如如果取时间段为大学四年的话，则T/e=1.4715。 也就是说，在大学四年里，男生表白的最佳时刻在第三个学期的期末或寒假（大二的ddmm们现在要把握机会哟 
）
如果这个时间段较长的话，那么男生追求可近似假设为了一个非齐次泊松过程，或者分段齐次泊松过程，具体建模中对各段参数lamma的估计就比较困难了，而且每个人以后的经历都会不同，不太可能找到一个统一的参数集，我就不再进一步考虑了，欢迎大家继续提出改进意见~~
第二个，研三大叔的校内上看到的：
在过去的时间里，我一直处于摸索中，试图解释并寻求一个符合当代年轻人关于择偶选择方式和条件的机制．理论的研究总是枯燥的，但上帝是公平的，终于在毕业之后的时间里，得出了这 个思路，这当代年轻人择偶提供了理论基础．在最初的时间，我将这个思路命名为＂心灵美＂模型．后来经过进一步完善和推导，最终决定以标题上的名称正式命名．
传统的（其实可以确切的说是当前最流行的）选美机制认为，长相无疑是男士选择对象的最重要标准，也是女士在市场要价中的最重要筹码．这是根据市场调查得 出的结论．我们可以从两方面来看：从男士角度，美女 常常是大家谈论的中心（注：我曾经建立过一套用基数效用来衡量女士外观的体系，并选择了一个标准长相（称为ＳＴ）作为基准，但由于基数效用论过于主观，且 随时间的变化ＳＴ自身也在不断变化，最终这一体系由于部分同事对一些实际只有四五十个效用单位的女士出价过高，导致通货膨胀过于严重，最终这一体系于 ２００8年３月宣布解体）．从女士角度看，虽然广大女生都声称只看外表很肤浅，但却一边呼吁一边打扮，在这个过程中她们的观念在自我攻击中瓦解．
鉴于这种情况，经过潜心研究，终于得出了两个模型－远期交易模型以及心灵美模型
第一部分 远期交易模型
假设：１．女士认为长相是交易资本和条件（有点极端，但这是一个＂没有摩擦力的世界＂）
２．信息完全对称，对方的相貌完全可知．
３．男士以其社会能力为资本进入交易市场．
４．理性预期假定．
５．男士交易的需求价格交叉弹性比较大．
模型内容：令女方资本为x,男方资本为y.随着时间的增长，男女以各自的资本进入市场进行交易，双方的交易无论即期是女方深水（x-y>0)还是 贴水(x-y<0)，从远期来看基差都会扩大．因此理性的男士不会选择仅仅有长相资本的女士,交易无法实现．这称为“侯生不可能”定理。
第二部分 心灵美模型
假设：１．女士变得更加理性．提前建立丰富的资本组合．
２．信息完全对称．所有信息，包括内在素质均可知．
内容：由于单一资本进入市场无法进行交易，因此女士在自己的资本组合中加入内在因素，设为z,这样女士的资本变为x+z
Z是一个多因素方程，取受教育程度e，为人低调程度d，言谈举止优雅程度g，对男生的傲慢程度a以及勤俭节约程度fr，则有
z=f(e, d, g, a, fr)
因此，具备理性预期的女士会在其x预期降低的情况下不断提高可变因素z的比重。从而使自己的远期保值。
我们可以用一个例子来证明：
一个年轻漂亮的美国女孩在美国一家大型网上论坛金融版上发表了这样一个问题帖：我怎样才能嫁给有钱人？
“我下面要说的都是心里话。本人25岁，非常漂亮，是那种让人惊艳的漂亮，谈吐文雅，有品位，想嫁给年薪 50万美元的人。你也许会说我贪心，但在纽约年薪100万才算是中产，本人的要求其实不高。
这个版上有没有年薪超过 50万的人？你们都结婚了吗？我想请教各位一个问题——怎样才能嫁给你们这样的有钱人？我约会过的人中，最有钱的年薪 25万，这似乎是我的上限。要住进纽约中心公园以西的高尚住宅区，年薪25万远远不够。我是来诚心诚意请教的。有几个具体的问题：一、有钱的单身汉一般都 在哪里消磨时光？ (请列出酒吧、饭店、健身房的名字和详细地址。)二、我应该把目标定在哪个年龄段？三、为什么有些富豪的妻子看起来相貌平平？我见过有 些女孩，长相如同白开水，毫无吸引人的地方，但她们却能嫁入豪门。而单身酒吧里那些迷死人的美女却运气不佳。四、你们怎么决定谁能做妻子，谁只能做女朋 友？ (我现在的目标是结婚。)”——波尔斯女士
下面是一个华尔街金融家的回帖：
“亲爱的波尔斯：我怀着极大的兴趣看完了贵帖，相信不少女士也有跟你类似的疑问。让我以一个投资专家的身份，对你的处境做一分析。我年薪超过50万，符合你的择偶标准，所以请相信我并不是在浪费大家的时间。
从生意人的角度来看，跟你结婚是个糟糕的经营决策，道理再明白不过，请听我解释。抛开细枝末节，你所说的其实是一笔简单的“财”“貌”交易：甲方提供描述人的外表，乙方出钱，公平交易，童叟无欺。但是，这里有个致命的问题，你的美貌会消逝，但我的钱却不会无缘无故减少。事实上，我的收入很可能会逐年涕增． 而你不可能一年比一年漂亮。
因此，从经济学的角度讲，我是增值资产，你是贬值资产，不但贬值，而且是加速贬值!你现在25，在未来的五年里，你仍可以保持窈窕的身段，俏丽的容貌，虽然每年略有退步。但美貌消逝的速度会越来越快，如果它是你仅有的资产，十年以后你的价值甚忧。
用华尔街术语说，每笔交易都有一个仓位，跟你交往属于“交易仓位”(tradingl position)，一旦价值下跌就要立即抛售，而不宜长期持有——也就是你想要的婚姻。听起来很残忍，但对一件会加速贬值的物资，明智的选择是租赁，而 不是购入。年薪能超过50万的人，当然都不是傻瓜，因此我们只会跟你交往，但不会跟你结婚。所以我劝你不要苦苦寻找嫁给有钱人的秘方。顺便说一句，你倒可 以想办法把自己变成年薪50万的人，这比碰到一个有钱的傻瓜的胜算要大。
希望我的回帖能对你有帮助。如果你对“租赁”感兴趣，请跟我联系。”——罗波．坎贝尔（J·P·摩根银行多种产业投资顾问）
在上面的例子结束时，坎贝尔先生提出了一个极具有现实意义的提议：租赁是否可行。关于这个问题，要先根据“布劳尔不动点”证明局部和一般均衡的存在性，而“ 布劳尔不动点”的证明涉及到很高深的数理知识，这里就不具体阐述了。这里只先说明：局部均衡是存在的，否则整个社会里面就不会有那么多情侣。但从广义上来 讲，一般均衡由于信息的不完全和不对称性，是很难实现的。
博文
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